এনপি জটিলতা শ্রেণীতে একটি সমস্যা হতে পারে যদি একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক ট্যুরিং মেশিন থাকে যা এটি বহুপদী সময়ে সমাধান করবে
প্রশ্ন "এনপি জটিলতা শ্রেণীতে একটি সমস্যা হতে পারে যদি একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক টিউরিং মেশিন থাকে যা এটি বহুপদী সময়ে সমাধান করবে?" কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলিকে স্পর্শ করে। এই প্রশ্নটি ব্যাপকভাবে মোকাবেলা করার জন্য, আমাদের অবশ্যই NP জটিলতা শ্রেণীর সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য এবং নন-ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিনের (NDTMs) ভূমিকা বিবেচনা করতে হবে।
NP এর সংজ্ঞা
শ্রেণী এনপি (ননডিটারমিনিস্টিক বহুপদী সময়) সিদ্ধান্তের সমস্যা নিয়ে গঠিত যার জন্য একটি প্রদত্ত সমাধানকে বহুপদী সময়ে সঠিক বা ভুল হিসাবে একটি ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিন (ডিটিএম) দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, এনপিতে একটি সিদ্ধান্তের সমস্যা হয় যদি একটি বহুপদী-সময় যাচাইকরণ অ্যালগরিদম থাকে যা সমস্যার একটি উদাহরণের জন্য একটি প্রদত্ত শংসাপত্র (বা সাক্ষী) এর সঠিকতা যাচাই করতে পারে।
নন-ডিটারমিনিস্টিক ট্যুরিং মেশিন
একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিন গণনার একটি তাত্ত্বিক মডেল যা একটি ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিনের ক্ষমতাকে প্রসারিত করে। একটি DTM এর বিপরীতে, যা তার ট্রানজিশন ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি একক গণনামূলক পথ অনুসরণ করে, একটি NDTM একই সাথে একাধিক গণনামূলক পথ অনুসরণ করতে পারে। প্রতিটি ধাপে, একটি এনডিটিএম সম্ভাব্য ট্রানজিশনের একটি সেট থেকে "বাছাই" করতে পারে, সমান্তরালে অনেক সম্ভাব্য গণনা কার্যকরভাবে অন্বেষণ করে।
এনডিটিএম দ্বারা বহুপদী-সময় সমাধানযোগ্যতা
একটি সমস্যা বহুপদী সময়ে একটি NDTM দ্বারা সমাধানযোগ্য বলে বলা হয় যদি একটি অ-নির্ধারক অ্যালগরিদম বিদ্যমান থাকে যা ইনপুটের আকারে বহুপদী ধাপের মধ্যে সমস্যার সমাধান খুঁজে পেতে পারে। এর মানে হল যে কোনও সমস্যার ক্ষেত্রে, এনডিটিএম একটি গণনামূলক পথ অন্বেষণ করতে পারে যা বহুপদী সময়ে সমাধানের দিকে নিয়ে যায়।
NP এবং NDTM এর মধ্যে সম্পর্ক
শ্রেণী NP-কে NDTM-এর পরিপ্রেক্ষিতে সমতুল্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বিশেষত, একটি সিদ্ধান্তের সমস্যা এনপিতে হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি এনডিটিএম বিদ্যমান থাকে যা বহুপদী সময়ে সমস্যার সমাধান করতে পারে। এই সমতা এই সত্য থেকে উদ্ভূত হয় যে একটি এনডিটিএম একটি শংসাপত্র অ-নির্ধারকভাবে অনুমান করতে পারে এবং তারপর বহুপদী সময়ে এটিকে নির্ধারকভাবে যাচাই করতে পারে।
একটি উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করার জন্য, সুপরিচিত NP-সম্পূর্ণ সমস্যা, বুলিয়ান সন্তুষ্টি সমস্যা (SAT) বিবেচনা করুন। কনজেক্টিভ নরমাল ফর্ম (CNF) তে একটি বুলিয়ান সূত্র দেওয়া, কাজ হল ভেরিয়েবলের সত্য মানের একটি অ্যাসাইনমেন্ট আছে কিনা তা নির্ধারণ করা যা সূত্রটিকে সত্য করে তোলে। একটি এনডিটিএম বহুপদী সময়ে স্যাট সমাধান করতে পারে অ-নির্ধারকভাবে সত্য মানের একটি অ্যাসাইনমেন্ট অনুমান করে এবং তারপর নির্ধারণ করে পরীক্ষা করে যে অ্যাসাইনমেন্ট সূত্রটি সন্তুষ্ট করে কিনা। যাচাইকরণের ধাপ, যার মধ্যে অনুমান করা অ্যাসাইনমেন্টের অধীনে সূত্রের মূল্যায়ন জড়িত, বহুপদী সময়ে করা যেতে পারে।
এনডিটিএম দ্বারা বহুপদী-সময় সমাধানযোগ্যতার প্রভাব
উপরের সংজ্ঞা এবং এনডিটিএম দ্বারা এনপি এবং বহুপদী-সময় সমাধানযোগ্যতার মধ্যে সমতা দেওয়া হলে, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে যদি একটি এনডিটিএম বিদ্যমান থাকে যা বহুপদী সময়ে একটি সমস্যার সমাধান করে, তাহলে সমস্যাটি প্রকৃতপক্ষে এনপি-তে। কারণ এই ধরনের NDTM-এর অস্তিত্ব বোঝায় যে সমস্যার জন্য একটি বহুপদী-সময় যাচাইকরণ অ্যালগরিদম রয়েছে। এনডিটিএম-এর নন-ডিটারমিনিস্টিক অনুমান পর্যায়টি একটি শংসাপত্র তৈরির সাথে মিলে যায়, এবং নির্ধারক যাচাইকরণ পর্বটি বহুপদী-সময় যাচাইকরণ অ্যালগরিদমের সাথে মিলে যায়।
আরও বিবেচনা এবং উদাহরণ
এই ধারণাটি আরও ব্যাখ্যা করার জন্য, আসুন এনপি-তে সমস্যার অতিরিক্ত উদাহরণ এবং এনডিটিএম-এর সাথে তাদের সম্পর্ক বিবেচনা করুন:
1. হ্যামিলটোনিয়ান পাথ সমস্যা: একটি গ্রাফ দেওয়া হলে, হ্যামিল্টোনিয়ান পাথ সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে এমন একটি পথ আছে কি না যা প্রতিটি শীর্ষবিন্দুকে ঠিক একবার পরিদর্শন করে। একটি এনডিটিএম বহুপদী সময়ে এই সমস্যার সমাধান করতে পারে অ-নির্ধারিতভাবে শীর্ষবিন্দুর একটি ক্রম অনুমান করে এবং তারপর ক্রমটি একটি বৈধ হ্যামিলটোনিয়ান পথ তৈরি করে কিনা তা যাচাই করে। যাচাইকরণের ধাপে পরপর শীর্ষবিন্দুগুলির সংলগ্নতা পরীক্ষা করা এবং প্রতিটি শীর্ষবিন্দু ঠিক একবার পরিদর্শন করা হয়েছে কিনা তা নিশ্চিত করা জড়িত, যে দুটিই বহুপদী সময়ে করা যেতে পারে।
2. উপসেট সমষ্টি সমস্যা: পূর্ণসংখ্যার একটি সেট এবং একটি লক্ষ্য যোগফল দেওয়া হলে, উপসেট সমষ্টি সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে পূর্ণসংখ্যার একটি উপসেট আছে কিনা যা লক্ষ্যের যোগফল দেয়। একটি এনডিটিএম বহুপদী সময়ে এই সমস্যার সমাধান করতে পারে অ-নির্ধারকভাবে পূর্ণসংখ্যার একটি উপসেট অনুমান করে এবং তারপর উপসেটের যোগফল লক্ষ্যের সমান কিনা তা যাচাই করে। যাচাইকরণের ধাপে অনুমান করা উপসেটের উপাদানগুলির সংকলন জড়িত, যা বহুপদী সময়ে করা যেতে পারে।
3. গ্রাফ কালারিং সমস্যা: একটি গ্রাফ এবং বেশ কয়েকটি রঙের প্রদত্ত, গ্রাফ রঙের সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে গ্রাফের শীর্ষবিন্দুগুলিকে এমনভাবে রঙ করা সম্ভব যে দুটি সংলগ্ন শীর্ষবিন্দু একই রঙ ভাগ করে না। একটি এনডিটিএম বহুপদী সময়ে এই সমস্যার সমাধান করতে পারে অ-নির্ধারিতভাবে শীর্ষবিন্দুগুলিতে রঙ নির্ধারণ করে এবং তারপর রঙটি বৈধ কিনা তা যাচাই করে। যাচাইকরণের ধাপে সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুর রং পরীক্ষা করা জড়িত, যা বহুপদী সময়ে করা যেতে পারে।
উপসংহার
প্রদত্ত সংজ্ঞা এবং উদাহরণের আলোকে, এটা স্পষ্ট যে NP জটিলতা শ্রেণীতে একটি সমস্যা প্রকৃতপক্ষে হতে পারে যদি একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিন থাকে যা বহুপদী সময়ে এটি সমাধান করবে। এই সম্পর্কটি কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের একটি ভিত্তিপ্রস্তর এবং এনডিটিএম দ্বারা বহুপদী-সময় সমাধানযোগ্যতা এবং এনপি শ্রেণিতে সদস্যতার মধ্যে সমতাকে আন্ডারস্কোর করে।
সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর জটিলতা:
- PSPACE ক্লাস কি EXPSPACE ক্লাসের সমান নয়?
- P জটিলতা শ্রেণী কি PSPACE শ্রেণীর একটি উপসেট?
- একটি ডিটারমিনিস্টিক টিএম-এ যেকোনো NP সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য একটি দক্ষ বহুপদী সমাধান খুঁজে বের করে আমরা কি প্রমাণ করতে পারি যে Np এবং P শ্রেণী একই?
- NP ক্লাস কি EXPTIME ক্লাসের সমান হতে পারে?
- PSPACE এ কি কোন সমস্যা আছে যার জন্য কোন পরিচিত NP অ্যালগরিদম নেই?
- একটি SAT সমস্যা একটি NP সম্পূর্ণ সমস্যা হতে পারে?
- NP হল ভাষার শ্রেণী যার বহুপদী সময় যাচাইকারী রয়েছে
- P এবং NP কি আসলে একই জটিলতার শ্রেণী?
- P জটিলতা ক্লাসে কি প্রতিটি প্রসঙ্গ মুক্ত ভাষা?
- বহুপদী-সময় যাচাইকারীর সাথে সিদ্ধান্তের সমস্যাগুলির একটি শ্রেণি হিসাবে NP-এর সংজ্ঞা এবং P শ্রেণির সমস্যাগুলিরও বহুপদী-সময় যাচাইকারীগুলির মধ্যে একটি দ্বন্দ্ব আছে কি?
জটিলতায় আরও প্রশ্ন ও উত্তর দেখুন