P এর সমান NP কিনা সেই প্রশ্নটি কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গণিতের সবচেয়ে গভীর এবং অমীমাংসিত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। এই সমস্যাটি কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের কেন্দ্রবিন্দুতে অবস্থিত, একটি ক্ষেত্র যা গণনাগত সমস্যার অন্তর্নিহিত অসুবিধা অধ্যয়ন করে এবং তাদের সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সংস্থান অনুসারে তাদের শ্রেণীবদ্ধ করে।
প্রশ্নটি বোঝার জন্য, P এবং NP শ্রেণীর সংজ্ঞাগুলি উপলব্ধি করা অপরিহার্য। ক্লাস P-এ সিদ্ধান্তের সমস্যা (হ্যাঁ/না উত্তরের সমস্যা) রয়েছে যা বহুপদী সময়ে একটি ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। বহুপদী সময় বোঝায় যে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সময়কে ইনপুটের আকারের বহুপদী ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। P-তে সমস্যার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে সংখ্যাগুলির একটি তালিকা বাছাই করা (যা মার্জেসর্টের মতো দক্ষ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে O(n log n) সময়ে করা যেতে পারে) এবং ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে দুটি পূর্ণসংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পাওয়া (যা O(log) এ চলে (মিনিট (ক, খ))) সময়)।
অন্যদিকে, শ্রেণী NP, সিদ্ধান্তের সমস্যা নিয়ে গঠিত যার জন্য একটি প্রদত্ত সমাধান বহুপদী সময়ে একটি নির্ধারক ট্যুরিং মেশিন দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে। এর মানে হল যে যদি কেউ সমস্যাটির জন্য প্রার্থীর সমাধান প্রদান করে তবে কেউ এর সঠিকতা দক্ষতার সাথে পরীক্ষা করতে পারে। গুরুত্বপূর্ণভাবে, NP অগত্যা বোঝায় না যে সমস্যাটি নিজেই বহুপদী সময়ে সমাধান করা যেতে পারে, শুধুমাত্র একটি প্রস্তাবিত সমাধান দ্রুত যাচাই করা যেতে পারে। এনপি-তে সমস্যার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বুলিয়ান সন্তুষ্টি সমস্যা (SAT), যেখানে কেউ নির্ধারণ করতে চায় যে ভেরিয়েবলের জন্য সত্য মানের একটি অ্যাসাইনমেন্ট আছে কিনা যা একটি প্রদত্ত বুলিয়ান সূত্রকে সত্য করে তোলে এবং হ্যামিলটোনিয়ান চক্র সমস্যা, যা জিজ্ঞাসা করে যে একটি চক্র আছে কিনা। যা একটি গ্রাফের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুকে ঠিক একবার পরিদর্শন করে।
P বনাম NP প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে যে প্রতিটি সমস্যা যার সমাধান বহুপদী সময়ে যাচাই করা যেতে পারে (অর্থাৎ, এনপি-তে প্রতিটি সমস্যা) বহুপদী সময়েও সমাধান করা যেতে পারে (অর্থাৎ, P-তে রয়েছে)। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রশ্ন হল P = NP কিনা। P যদি NP-এর সমান হয়, তাহলে এটা বোঝাবে যে প্রতিটি সমস্যা যার জন্য একটি সমাধান দ্রুত যাচাই করা যায় তাও দ্রুত সমাধান করা যেতে পারে। এটি ক্রিপ্টোগ্রাফি, অপ্টিমাইজেশান এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার মতো ক্ষেত্রগুলির জন্য গভীর প্রভাব ফেলবে, কারণ বর্তমানে অনেক জটিল সমস্যা সম্ভাব্যভাবে কার্যকরভাবে সমাধানযোগ্য হয়ে উঠতে পারে।
কয়েক দশকের গবেষণা সত্ত্বেও, পি বনাম এনপি প্রশ্ন উন্মুক্ত রয়েছে। কেউ এখনও P = NP বা P ≠ NP প্রমাণ করতে সক্ষম হয়নি। ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউটের সাতটি "সহস্রাব্দ পুরস্কারের সমস্যা" এর একটি হিসেবে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এই সমস্যার অসুবিধার ওপর গুরুত্ব দেওয়া হয়েছে, একটি সঠিক সমাধানের জন্য $1 মিলিয়ন পুরস্কার। একটি রেজোলিউশনের অভাব তাত্ত্বিক এবং ফলিত কম্পিউটার বিজ্ঞান উভয় ক্ষেত্রেই উল্লেখযোগ্য উন্নয়নের দিকে পরিচালিত করেছে।
P বনাম NP প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত মূল ধারণাগুলির মধ্যে একটি হল NP-সম্পূর্ণতা। একটি সমস্যা NP-সম্পূর্ণ হয় যদি এটি NP-এ থাকে এবং NP-তে যে কোনও সমস্যার মতোই কঠিন, এই অর্থে যে কোনও NP সমস্যা বহুপদী-সময় হ্রাস ব্যবহার করে এটিতে হ্রাস করা যেতে পারে। NP-সম্পূর্ণতার ধারণাটি স্টিফেন কুক তার সেমিনাল 1971 পেপারে প্রবর্তন করেছিলেন, যেখানে তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে SAT সমস্যাটি NP-সম্পূর্ণ। কুকের উপপাদ্য নামে পরিচিত এই ফলাফলটি যুগান্তকারী ছিল কারণ এটি একটি NP-সম্পূর্ণ সমস্যার একটি দৃঢ় উদাহরণ প্রদান করে এবং অন্যান্য NP-সম্পূর্ণ সমস্যা চিহ্নিত করার জন্য একটি কাঠামো প্রতিষ্ঠা করে।
তারপর থেকে, অন্যান্য অনেক সমস্যাকে NP-সম্পূর্ণ দেখানো হয়েছে, যেমন ভ্রমণকারী বিক্রয়কর্মী সমস্যা, চক্রের সমস্যা এবং ন্যাপস্যাক সমস্যা। NP-সম্পূর্ণতার তাৎপর্য হল যে কোনো NP-সম্পূর্ণ সমস্যা যদি বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায়, তাহলে NP-এর প্রতিটি সমস্যা বহুপদী সময়ে সমাধান করা যেতে পারে, যার অর্থ P = NP। বিপরীতভাবে, যদি কোনো NP-সম্পূর্ণ সমস্যা বহুপদী সময়ে সমাধান করা না যায়, তাহলে P ≠ NP।
NP-সম্পূর্ণতার ধারণাটি ব্যাখ্যা করতে, ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যা (TSP) বিবেচনা করুন। এই সমস্যায়, একজন বিক্রয়কর্মীকে অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট শহর পরিদর্শন করতে হবে, প্রতিটি ঠিক একবার, এবং মোট ভ্রমণ দূরত্ব কমানোর লক্ষ্য নিয়ে শুরুর শহরে ফিরে যেতে হবে। TSP-এর সিদ্ধান্ত সংস্করণ জিজ্ঞাসা করে যে একটি প্রদত্ত মানের চেয়ে কম বা সমান মোট দূরত্ব সহ শহরগুলির একটি সফর আছে কিনা। এই সমস্যাটি এনপি-তে কারণ, একটি প্রস্তাবিত সফর দেওয়া হলে, কেউ সহজেই বহুপদী সময়ে যাচাই করতে পারে যে সফরটি দূরত্বের সীমাবদ্ধতা পূরণ করে কিনা। অধিকন্তু, TSP হল NP-সম্পূর্ণ কারণ NP-তে যেকোন সমস্যা বহুপদী সময়ে TSP-এর উদাহরণে রূপান্তরিত হতে পারে।
আরেকটি উদাহরণ হল চক্র সমস্যা, যা জিজ্ঞাসা করে যে প্রদত্ত গ্রাফে একটি নির্দিষ্ট আকারের একটি সম্পূর্ণ সাবগ্রাফ (ক্লিক) রয়েছে কিনা। এই সমস্যাটি এনপি-তে কারণ, একটি প্রার্থীর চক্রের প্রেক্ষিতে, কেউ বহুপদী সময়ে যাচাই করতে পারে যে এটি প্রকৃতপক্ষে প্রয়োজনীয় আকারের একটি চক্র কিনা। চক্রের সমস্যাটিও এনপি-সম্পূর্ণ, যার অর্থ হল এটি দক্ষতার সাথে সমাধান করা বোঝায় যে সমস্ত এনপি সমস্যা দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে।
পি বনাম এনপি এবং এনপি-সম্পূর্ণতার অধ্যয়ন তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে বিভিন্ন কৌশল এবং সরঞ্জামগুলির বিকাশের দিকে পরিচালিত করেছে। এই ধরনের একটি কৌশল হল বহুপদী-সময় হ্রাসের ধারণা, যা দেখাতে ব্যবহৃত হয় যে একটি সমস্যা অন্তত অন্যটির মতো কঠিন। সমস্যা A থেকে সমস্যা B-তে একটি বহুপদী-সময় হ্রাস এমন একটি রূপান্তর যা A-এর দৃষ্টান্তকে বহুপদী সময়ে B-এর দৃষ্টান্তে রূপান্তরিত করে, যেমন B-এর রূপান্তরিত উদাহরণের সমাধান A-এর আসল উদাহরণের সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সমস্যা হলে A বহুপদী সময়ে B এর সমস্যা হ্রাস করা যেতে পারে, এবং B বহুপদী সময়ে সমাধান করা যেতে পারে, তারপর A বহুপদী সময়েও সমাধান করা যেতে পারে।
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হল আনুমানিক অ্যালগরিদমের ধারণা, যা বহুপদী সময়ে NP-হার্ড সমস্যাগুলির (যে সমস্যাগুলি অন্তত NP-সম্পূর্ণ সমস্যার মতো কঠিন) প্রায় সর্বোত্তম সমাধান প্রদান করে। যদিও এই অ্যালগরিদমগুলি অগত্যা সঠিক সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে পায় না, তারা সম্ভাব্য সর্বোত্তম সমাধান প্রদান করে জটিল সমস্যাগুলি মোকাবেলা করার জন্য একটি ব্যবহারিক পদ্ধতির প্রস্তাব দেয়। উদাহরণস্বরূপ, ভ্রমণকারী বিক্রয়কর্মী সমস্যাটির একটি সুপরিচিত আনুমানিক অ্যালগরিদম রয়েছে যা মেট্রিক টিএসপি (যেখানে দূরত্ব ত্রিভুজ অসমতাকে সন্তুষ্ট করে) জন্য সর্বোত্তম সফরের 1.5 এর মধ্যে একটি ট্যুর গ্যারান্টি দেয়।
P বনাম NP প্রশ্ন সমাধানের প্রভাব তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের বাইরেও প্রসারিত। ক্রিপ্টোগ্রাফিতে, অনেক এনক্রিপশন স্কিম নির্দিষ্ট সমস্যার কঠোরতার উপর নির্ভর করে, যেমন পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন এবং বিযুক্ত লগারিদম, যা NP তে আছে বলে বিশ্বাস করা হয় কিন্তু P-তে নয়। যদি P NP-এর সমান হয়, তাহলে এই সমস্যাগুলি সম্ভাব্যভাবে দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে, আপস করে। ক্রিপ্টোগ্রাফিক সিস্টেমের নিরাপত্তা। বিপরীতভাবে, P ≠ NP প্রমাণ করা এই ধরনের সিস্টেমের নিরাপত্তার জন্য একটি শক্তিশালী ভিত্তি প্রদান করবে।
অপ্টিমাইজেশানে, অনেক বাস্তব-বিশ্বের সমস্যা, যেমন সময়সূচী, রাউটিং, এবং সম্পদ বরাদ্দ, NP-হার্ড সমস্যা হিসাবে মডেল করা হয়। P যদি NP-এর সমান হয়, তাহলে এর অর্থ হল যে এই সমস্যাগুলিকে সর্বোত্তমভাবে সমাধান করার জন্য দক্ষ অ্যালগরিদম তৈরি করা যেতে পারে, যা বিভিন্ন শিল্পে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতির দিকে পরিচালিত করে। যাইহোক, বর্তমান অনুমান যে P ≠ NP হিউরিস্টিক এবং আনুমানিক অ্যালগরিদমগুলির বিকাশের দিকে পরিচালিত করেছে যা এই সমস্যাগুলির ব্যবহারিক সমাধান প্রদান করে।
P বনাম NP প্রশ্নটিরও দার্শনিক প্রভাব রয়েছে, কারণ এটি গাণিতিক সত্যের প্রকৃতি এবং মানুষের জ্ঞানের সীমাকে স্পর্শ করে। P যদি NP-এর সমান হয়, তাহলে এটা বোঝাবে যে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ সহ প্রতিটি গাণিতিক বিবৃতি দক্ষতার সাথে আবিষ্কৃত হতে পারে, সম্ভাব্যভাবে গাণিতিক আবিষ্কারের প্রক্রিয়ায় বিপ্লব ঘটাতে পারে। অন্যদিকে, P ≠ NP হলে, এটি গাণিতিক কাঠামোর জটিলতা এবং সমৃদ্ধি হাইলাইট করে দক্ষতার সাথে গণনা এবং যাচাই করা যেতে পারে তার অন্তর্নিহিত সীমা রয়েছে।
P বনাম NP প্রশ্নের একটি সুনির্দিষ্ট উত্তর না থাকা সত্ত্বেও, এর আশেপাশের গবেষণা গণনাগত জটিলতা এবং অসংখ্য কৌশল এবং সরঞ্জামের বিকাশের গভীরতর বোঝার দিকে পরিচালিত করেছে যা কম্পিউটার বিজ্ঞানের উপর গভীর প্রভাব ফেলেছে। এই প্রশ্নটির সমাধান করার জন্য অনুসন্ধানটি গবেষকদের অনুপ্রাণিত করে এবং চ্যালেঞ্জ করে, ক্ষেত্রের অগ্রগতি চালায় এবং গণনার মৌলিক সীমা সম্পর্কে আমাদের বোঝার প্রসারিত করে।
সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর জটিলতা:
- PSPACE ক্লাস কি EXPSPACE ক্লাসের সমান নয়?
- P জটিলতা শ্রেণী কি PSPACE শ্রেণীর একটি উপসেট?
- একটি ডিটারমিনিস্টিক টিএম-এ যেকোনো NP সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য একটি দক্ষ বহুপদী সমাধান খুঁজে বের করে আমরা কি প্রমাণ করতে পারি যে Np এবং P শ্রেণী একই?
- NP ক্লাস কি EXPTIME ক্লাসের সমান হতে পারে?
- PSPACE এ কি কোন সমস্যা আছে যার জন্য কোন পরিচিত NP অ্যালগরিদম নেই?
- একটি SAT সমস্যা একটি NP সম্পূর্ণ সমস্যা হতে পারে?
- এনপি জটিলতা শ্রেণীতে একটি সমস্যা হতে পারে যদি একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক ট্যুরিং মেশিন থাকে যা এটি বহুপদী সময়ে সমাধান করবে
- NP হল ভাষার শ্রেণী যার বহুপদী সময় যাচাইকারী রয়েছে
- P জটিলতা ক্লাসে কি প্রতিটি প্রসঙ্গ মুক্ত ভাষা?
- বহুপদী-সময় যাচাইকারীর সাথে সিদ্ধান্তের সমস্যাগুলির একটি শ্রেণি হিসাবে NP-এর সংজ্ঞা এবং P শ্রেণির সমস্যাগুলিরও বহুপদী-সময় যাচাইকারীগুলির মধ্যে একটি দ্বন্দ্ব আছে কি?
জটিলতায় আরও প্রশ্ন ও উত্তর দেখুন