PSPACE ক্লাস কি EXPSPACE ক্লাসের সমান নয়?

/ / প্রকাশিত সাইবার নিরাপত্তা, EITC/IS/CCTF কম্পিউটেশনাল কমপ্লেসিটি থিওরি ফান্ডামেন্টালস, জটিলতা, স্থান জটিলতা ক্লাস

PSPACE ক্লাসটি EXPSPACE ক্লাসের সমান নয় কিনা এই প্রশ্নটি গণনাগত জটিলতা তত্ত্বের একটি মৌলিক এবং অমীমাংসিত সমস্যা। একটি বিস্তৃত বোঝার জন্য, এই জটিলতা শ্রেণীগুলির সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য এবং তাৎপর্য, সেইসাথে স্থান জটিলতার বিস্তৃত প্রেক্ষাপট বিবেচনা করা অপরিহার্য।

সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য

PSPACE: PSPACE শ্রেণীতে সমস্ত সিদ্ধান্তের সমস্যা রয়েছে যা একটি বহুপদী পরিমাণ স্থান ব্যবহার করে একটি টুরিং মেশিন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি ভাষা L PSPACE-এ থাকে যদি একটি টিউরিং মেশিন M এবং একটি বহুপদী ফাংশন p(n) থাকে যেমন প্রতিটি ইনপুট x-এর জন্য, মেশিন M সিদ্ধান্ত নেয় x L-এ সর্বাধিক p(|x|) স্থান ব্যবহার করে। PSPACE সমস্যাগুলির একটি বিস্তৃত পরিসরকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেগুলি বহুপদী সময় (P) এ সমাধানযোগ্য এবং যেগুলি PSPACE-এর জন্য সম্পূর্ণ, যেমন কোয়ান্টিফাইড বুলিয়ান ফর্মুলা (QBF) সমস্যা সহ।

EXPSPACE: EXPSPACE ক্লাসে সমস্ত সিদ্ধান্ত সংক্রান্ত সমস্যা রয়েছে যা একটি সূচকীয় পরিমাণ স্থান ব্যবহার করে একটি টুরিং মেশিন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। বিশেষভাবে, একটি ভাষা L EXPSPACE-এ থাকে যদি একটি টিউরিং মেশিন M এবং একটি সূচকীয় ফাংশন f(n) থাকে যেমন প্রতিটি ইনপুট x এর জন্য, মেশিন M সিদ্ধান্ত নেয় x L-এ আছে কিনা তা সর্বাধিক 2^f(|x|) ব্যবহার করে স্থান EXPSPACE হল PSPACE-এর তুলনায় একটি বড় শ্রেণী, কারণ এটি দ্রুতগতিতে আরও স্থানের অনুমতি দেয়, যা সমস্যার বিস্তৃত পরিসরের সমাধান সক্ষম করে।

PSPACE এবং EXPSPACE এর মধ্যে সম্পর্ক

PSPACE এবং EXPSPACE-এর মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য, স্থান জটিলতা শ্রেণীগুলির অনুক্রমকে চিনতে হবে। সংজ্ঞা অনুসারে, PSPACE EXPSPACE-এর মধ্যে রয়েছে কারণ বহুপদী স্থান ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে এমন যে কোনও সমস্যা সূচকীয় স্থান ব্যবহার করেও সমাধান করা যেতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, PSPACE ⊆ EXPSPACE। যাইহোক, কথোপকথন অগত্যা সত্য নয়; এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে EXPSPACE-এ এমন সমস্যা রয়েছে যা বহুপদী স্থান ব্যবহার করে সমাধান করা যায় না, PSPACE ≠ EXPSPACE বোঝায়।

উদাহরণ এবং প্রভাব

QBF সমস্যাটি বিবেচনা করুন, যা PSPACE-সম্পূর্ণ। এই সমস্যাটির সাথে একটি পরিমাণকৃত বুলিয়ান সূত্রের সত্যতা নির্ধারণ করা জড়িত এবং এটি বহুপদী স্থান ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। যেহেতু QBF PSPACE-সম্পূর্ণ, তাই PSPACE-এর যেকোনো সমস্যা বহুপদী সময়ে QBF-এ কমিয়ে আনা যেতে পারে। অন্যদিকে, EXPSPACE-এর একটি সমস্যার উদাহরণ কিন্তু PSPACE-তে অগত্যা নয় তা হল সূচকীয় স্থান সীমার সাথে ট্যুরিং মেশিনের বিকল্পের জন্য পৌঁছানোর সমস্যা। এই সমস্যাটির জন্য দ্রুতগতিতে অনেকগুলি কনফিগারেশন ট্র্যাক করা প্রয়োজন, যা বহুপদী স্থানের সাথে অসম্ভাব্য।

স্পেস হায়ারার্কি থিওরেম

স্পেস হায়ারার্কি থিওরেম এই বিশ্বাসের জন্য একটি আনুষ্ঠানিক ভিত্তি প্রদান করে যে PSPACE কঠোরভাবে EXPSPACE এর মধ্যে রয়েছে। এই উপপাদ্যটি বলে যে কোনও স্থান-নির্মাণযোগ্য ফাংশন f(n) এর জন্য, এমন একটি ভাষা রয়েছে যা স্থান f(n) এ সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে কিন্তু স্থান o(f(n) তে নয়)। এই উপপাদ্যটি f(n) = 2^n দিয়ে প্রয়োগ করলে, আমরা পাই যে সূচকীয় স্থানের সমাধানযোগ্য সমস্যা রয়েছে যেগুলি বহুপদী স্থান সহ যেকোন সাব-এক্সপোনেনশিয়াল স্পেসে সমাধান করা যায় না। অতএব, স্পেস হায়ারার্কি থিওরেমটি বোঝায় যে PSPACE কঠোরভাবে EXPSPACE এর মধ্যে রয়েছে, অর্থাৎ, PSPACE ⊂ EXPSPACE।

PSPACE এর অমীমাংসিত প্রকৃতি ≠ EXPSPACE

স্পেস হায়ারার্কি থিওরেম দ্বারা প্রদত্ত শক্তিশালী প্রমাণ থাকা সত্ত্বেও, PSPACE EXPSPACE এর সমান নয় কিনা সেই প্রশ্নটি অমীমাংসিত রয়ে গেছে। এর কারণ হল কঠোর অসমতা প্রমাণ করার জন্য PSPACE ≠ EXPSPACE EXPSPACE-এ একটি নির্দিষ্ট সমস্যার অস্তিত্ব প্রদর্শন করতে হবে যা PSPACE-এ সমাধান করা যাবে না, যা আজ পর্যন্ত সম্পন্ন হয়নি। জটিলতা ক্লাসের মধ্যে বিচ্ছেদ প্রমাণের সহজাত চ্যালেঞ্জের মধ্যে রয়েছে, যা গণনাগত জটিলতা তত্ত্বের একটি সাধারণ বিষয়।

বিস্তৃত প্রসঙ্গ এবং সম্পর্কিত জটিলতা ক্লাস

PSPACE এবং EXPSPACE-এর মধ্যে সম্পর্ককে জটিলতার ক্লাসের বিস্তৃত ল্যান্ডস্কেপের মধ্যে প্রাসঙ্গিক করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ক্লাস P (বহুপদে সমাধানযোগ্য সমস্যা) হল PSPACE-এর একটি উপসেট, এবং এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে P ≠ PSPACE। একইভাবে, শ্রেণী NP (অনির্ধারিত বহুপদী সময়) PSPACE-এর মধ্যেও রয়েছে এবং বিখ্যাত P বনাম NP সমস্যাটি ক্ষেত্রের একটি কেন্দ্রীয় উন্মুক্ত প্রশ্ন। এই শ্রেণীর মধ্যে নিয়ন্ত্রণ সম্পর্কগুলি নিম্নরূপ সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে:

– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE

এই ক্লাসগুলি ছাড়াও, অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ স্থান জটিলতা ক্লাস রয়েছে, যেমন L (লগারিদমিক স্পেস) এবং NL (ননডিটারমিনিস্টিক লগারিদমিক স্পেস), যা PSPACE এর উপসেট। এই শ্রেণীর মধ্যে সম্পর্ক স্থানের প্রয়োজনীয়তার উপর ভিত্তি করে গণনাগত জটিলতার শ্রেণিবিন্যাসকে আরও চিত্রিত করে।

PSPACE EXPSPACE এর সমান নয় কিনা সেই প্রশ্নটি গণনাগত জটিলতা তত্ত্বের একটি মৌলিক এবং অমীমাংসিত সমস্যা। যদিও স্পেস হায়ারার্কি থিওরেম দৃঢ় প্রমাণ দেয় যে PSPACE কঠোরভাবে EXPSPACE-এর মধ্যে রয়েছে, PSPACE ≠ EXPSPACE-এর কঠোর অসমতার একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ অধরা থেকে যায়। এই প্রশ্নের অন্বেষণ জটিলতার শ্রেণীগুলির বিস্তৃত ল্যান্ডস্কেপ এবং তাদের মধ্যে বিচ্ছেদ প্রমাণের অন্তর্নিহিত চ্যালেঞ্জগুলির উপর আলোকপাত করে।

সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর জটিলতা:

জটিলতায় আরও প্রশ্ন ও উত্তর দেখুন

আরও প্রশ্ন এবং উত্তর:

এর অধীনে ট্যাগ করা: , , , , ,