একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করুন যা এটি গণনা করতে পারে।
কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে, একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক যা এটি গণনা করতে পারে তা মৌলিক গুরুত্বের। এই সম্পর্কটি বোঝার জন্য, আমাদের প্রথমে সংজ্ঞায়িত করতে হবে একটি গণনাযোগ্য ফাংশন কী এবং এটি কীভাবে টুরিং মেশিনের সাথে সম্পর্কিত।
একটি গণনাযোগ্য ফাংশন, যা একটি পুনরাবৃত্ত ফাংশন নামেও পরিচিত, এটি একটি গাণিতিক ফাংশন যা একটি অ্যালগরিদম দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। এটি এমন একটি ফাংশন যার জন্য একটি টিউরিং মেশিন রয়েছে যা যেকোনো ইনপুট দেওয়া হলে, সেই ইনপুটটির জন্য সঠিক আউটপুটটি থামিয়ে দেবে। অন্য কথায়, একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এমন একটি যা কার্যকরভাবে একটি টিউরিং মেশিন দ্বারা গণনা করা যায়।
অন্যদিকে, টিউরিং মেশিন হল তাত্ত্বিক কম্পিউটিং ডিভাইস যা অ্যালান টুরিং 1936 সালে প্রবর্তন করেছিলেন। তারা কোষে বিভক্ত একটি অসীম টেপ, একটি রিড/রাইট হেড যা টেপের সাথে চলতে পারে এবং রাজ্যগুলির একটি সেট যা পরিচালনা করে। মেশিনের আচরণ। মেশিনটি টেপের প্রতীকগুলি পড়ে, তার বর্তমান অবস্থা এবং এটি যে চিহ্নটি পড়ে তার উপর ভিত্তি করে নির্দিষ্ট ক্রিয়া সম্পাদন করে এবং একটি নতুন অবস্থায় রূপান্তরিত হয়। এই প্রক্রিয়াটি চলতে থাকে যতক্ষণ না মেশিনটি থেমে যাওয়া অবস্থায় পৌঁছায়।
একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক যা এটি গণনা করতে পারে টিউরিং-সম্পূর্ণতার ধারণার উপর ভিত্তি করে। একটি টিউরিং মেশিনকে টিউরিং-সম্পূর্ণ বলা হয় যদি এটি অন্য কোনো টুরিং মেশিনকে অনুকরণ করতে পারে। অন্য কথায়, একটি টিউরিং-সম্পূর্ণ মেশিন যেকোনো ফাংশন গণনা করতে পারে যা অন্য কোনো টুরিং মেশিন দ্বারা গণনা করা যেতে পারে।
এই সংজ্ঞা দেওয়া হলে, আমরা বলতে পারি যে যদি একটি ফাংশন গণনাযোগ্য হয়, তবে একটি টিউরিং মেশিন রয়েছে যা এটি গণনা করতে পারে। বিপরীতভাবে, যদি একটি টিউরিং মেশিন একটি ফাংশন গণনা করতে পারে, তাহলে সেই ফাংশন গণনাযোগ্য। এই সম্পর্কটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে টিউরিং মেশিনগুলি সার্বজনীন কম্পিউটিং ডিভাইস যা অন্য যেকোনো টুরিং মেশিনকে অনুকরণ করতে সক্ষম।
এই সম্পর্কটি বোঝাতে, আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করি। ধরুন আমাদের একটি গণনাযোগ্য ফাংশন আছে যা দুটি সংখ্যা যোগ করে। আমরা একটি টিউরিং মেশিনকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা দুটি ইনপুট নেয়, টেপের প্রথম নম্বরে রিড/রাইট হেডকে নিয়ে যায়, দ্বিতীয় নম্বরটি যোগ করে এবং ফলাফল বের করে। এই টিউরিং মেশিন যোগ ফাংশন গণনা করতে পারে, একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক প্রদর্শন করে যা এটি গণনা করতে পারে।
একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক যা এটি গণনা করতে পারে টিউরিং-সম্পূর্ণতার ধারণার উপর ভিত্তি করে। একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এমন একটি যা কার্যকরভাবে একটি টিউরিং মেশিন দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, এবং একটি টিউরিং মেশিন টিউরিং-সম্পূর্ণ যদি এটি অন্য কোনো টুরিং মেশিনকে অনুকরণ করতে পারে। অতএব, যদি একটি ফাংশন গণনাযোগ্য হয়, সেখানে একটি টিউরিং মেশিন রয়েছে যা এটি গণনা করতে পারে এবং এর বিপরীতে।
সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর গণনামূলক ফাংশন:
- টিউরিং মেশিনের বিভিন্ন বৈচিত্র্যের কম্পিউটিং ক্ষমতার সমতুল্য হওয়ার অর্থ কী?
- একটি গণনাযোগ্য ফাংশন গণনা করার সময় একটি টিউরিং মেশিন সর্বদা থামার তাৎপর্য কী?
- একটি টিউরিং মেশিন সবসময় একটি ফাংশন গ্রহণ করার জন্য পরিবর্তন করা যেতে পারে? কেন অথবা কেন নয় ব্যাখ্যা করুন।
- একটি টিউরিং মেশিন কীভাবে একটি ফাংশন গণনা করে এবং ইনপুট এবং আউটপুট টেপের ভূমিকা কী?
- কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের প্রসঙ্গে একটি গণনাযোগ্য ফাংশন কী এবং এটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়?