একটি গণনাযোগ্য ফাংশন, কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে, এমন একটি ফাংশনকে বোঝায় যা একটি অ্যালগরিদম দ্বারা কার্যকরভাবে গণনা করা যেতে পারে। এটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে একটি মৌলিক ধারণা এবং গণনার সীমা বোঝার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
একটি গণনাযোগ্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য, আমাদের একটি আনুষ্ঠানিক কাঠামো স্থাপন করতে হবে যা আমাদের গণনামূলক মডেলের ক্ষমতা এবং সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে যুক্তি দিতে দেয়। এরকম একটি ফ্রেমওয়ার্ক হল টুরিং মেশিন, যা 1936 সালে অ্যালান টুরিং দ্বারা প্রবর্তন করা হয়েছিল। একটি টিউরিং মেশিন হল একটি বিমূর্ত গাণিতিক মডেল যা কোষে বিভক্ত একটি টেপ, একটি রিড-রাইট হেড এবং রাজ্যের একটি সেট নিয়ে গঠিত। মেশিনটি বর্তমান কক্ষে প্রতীকটি পড়ার মাধ্যমে, বর্তমান অবস্থা এবং প্রতীকের উপর ভিত্তি করে একটি নতুন অবস্থায় রূপান্তর করে এবং বর্তমান কক্ষে প্রতীকটি পরিবর্তন করে কাজ করে। এটি রিড-রাইট হেডকে এক কক্ষ বাম বা ডানে নিয়ে যেতে পারে।
টিউরিং মেশিনের প্রেক্ষাপটে, একটি গণনাযোগ্য ফাংশনকে একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার জন্য একটি টিউরিং মেশিন বিদ্যমান যেটি যেকোন ইনপুট দিলে, সেই ইনপুটটির জন্য সঠিক আউটপুট বন্ধ করে এবং উত্পাদন করে। অন্য কথায়, একটি ফাংশন গণনাযোগ্য যদি এমন একটি অ্যালগরিদম থাকে যা কোনো প্রদত্ত ইনপুটের জন্য এর মান গণনা করতে পারে। এই ধারণাটি সিদ্ধান্তযোগ্যতার ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা একটি প্রদত্ত ইনপুট একটি নির্দিষ্ট সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা নির্ধারণ করার ক্ষমতাকে বোঝায়।
সময়ের জটিলতার ধারণা ব্যবহার করে গণনাযোগ্য ফাংশনের ধারণাটিকে আরও আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে। সময় জটিলতা ইনপুট আকারের একটি ফাংশন হিসাবে একটি সমস্যা সমাধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদম দ্বারা প্রয়োজনীয় সময়ের পরিমাণ পরিমাপ করে। একটি ফাংশনকে বহুপদী সময়ে গণনাযোগ্য বলা হয় যদি একটি টিউরিং মেশিন থাকে যা ইনপুটের আকারে বহুপদী ধাপে ফাংশনটি গণনা করতে পারে। বহুপদী সময় গণনাযোগ্য ফাংশনগুলিকে দক্ষ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, কারণ তাদের চলমান সময় ইনপুট আকারের সাথে সর্বাধিক বহুপদে বৃদ্ধি পায়।
গণনাযোগ্য ফাংশনের ধারণাটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আসুন একটি ফাংশন বিবেচনা করি যা একটি প্রদত্ত সংখ্যা মৌলিক কিনা তা নির্ধারণ করে। এই ফাংশনটি একটি ইনপুট n নেয় এবং n প্রাইম হলে সত্য এবং অন্যথায় মিথ্যা প্রদান করে। প্রাইমালিটি টেস্টিং ফাংশনটি গণনাযোগ্য, কারণ এখানে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, যেমন ইরাটোসথেনিসের চালনা, যেটি যেকোন সংখ্যার আদিমতা নির্ধারণ করতে পারে।
বিপরীতে, ফাংশনটি বিবেচনা করুন যা নির্ধারণ করে যে প্রদত্ত প্রোগ্রাম একটি নির্দিষ্ট ইনপুটে থামবে কিনা। এই ফাংশন, যা থামানো সমস্যা হিসাবে পরিচিত, গণনাযোগ্য নয়। এটি 1936 সালে অ্যালান টুরিং দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, একটি কৌশল ব্যবহার করে যা ডায়াগোনালাইজেশন নামে পরিচিত। টুরিং-এর প্রমাণ দেখায় যে কোনও অ্যালগরিদম থাকতে পারে না যা সিদ্ধান্ত নিতে পারে যে কোনও প্রদত্ত প্রোগ্রাম এবং ইনপুটের জন্য, প্রোগ্রামটি চিরতরে থামবে বা চলবে।
কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এমন একটি ফাংশনকে বোঝায় যা কার্যকরভাবে একটি অ্যালগরিদম দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। এটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি মৌলিক ধারণা এবং এটি সিদ্ধান্তযোগ্যতার ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। টুরিং মেশিন এবং সময় জটিলতা ব্যবহার করে গণনাযোগ্য ফাংশনের ধারণাটি আনুষ্ঠানিক করা হয়। যদিও অনেক ফাংশন গণনাযোগ্য, সেখানেও ফাংশন রয়েছে, যেমন থামানো সমস্যা, যেগুলি গণনাযোগ্য নয়।
সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর গণনামূলক ফাংশন:
- টিউরিং মেশিনের বিভিন্ন বৈচিত্র্যের কম্পিউটিং ক্ষমতার সমতুল্য হওয়ার অর্থ কী?
- একটি গণনাযোগ্য ফাংশন এবং একটি টিউরিং মেশিনের অস্তিত্বের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করুন যা এটি গণনা করতে পারে।
- একটি গণনাযোগ্য ফাংশন গণনা করার সময় একটি টিউরিং মেশিন সর্বদা থামার তাৎপর্য কী?
- একটি টিউরিং মেশিন সবসময় একটি ফাংশন গ্রহণ করার জন্য পরিবর্তন করা যেতে পারে? কেন অথবা কেন নয় ব্যাখ্যা করুন।
- একটি টিউরিং মেশিন কীভাবে একটি ফাংশন গণনা করে এবং ইনপুট এবং আউটপুট টেপের ভূমিকা কী?