একটি টিউরিং মেশিনের থামানো সমস্যা কি সিদ্ধান্তযোগ্য?

/ / প্রকাশিত সাইবার নিরাপত্তা, EITC/IS/CCTF কম্পিউটেশনাল কমপ্লেসিটি থিওরি ফান্ডামেন্টালস, সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা, হোল্ডিং সমস্যার অনিশ্চয়তা

একটি টিউরিং মেশিনের থামানো সমস্যাটি সিদ্ধান্তযোগ্য কিনা তা নিয়ে তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে একটি মৌলিক সমস্যা, বিশেষ করে গণনাগত জটিলতা তত্ত্ব এবং সিদ্ধান্তযোগ্যতার ডোমেনের মধ্যে। থামানোর সমস্যা হল একটি সিদ্ধান্তের সমস্যা যা অনানুষ্ঠানিকভাবে নিম্নরূপ বলা যেতে পারে: একটি টিউরিং মেশিন এবং একটি ইনপুটের বর্ণনা দেওয়া হলে, সেই ইনপুট দিয়ে চালানো হলে টিউরিং মেশিনটি শেষ পর্যন্ত থামবে কিনা বা এটি চিরতরে চলবে কিনা তা নির্ধারণ করুন।

স্থগিত সমস্যাটির সিদ্ধান্তযোগ্যতা মোকাবেলা করার জন্য, সিদ্ধান্তযোগ্যতার ধারণাটি নিজেই বোঝা অপরিহার্য। একটি সমস্যাকে সিদ্ধান্তযোগ্য বলা হয় যদি এমন একটি অ্যালগরিদম থাকে যা একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে সমস্যার প্রতিটি উদাহরণের জন্য একটি সঠিক হ্যাঁ-বা-না উত্তর দিতে পারে। বিপরীতভাবে, এই ধরনের কোনো অ্যালগরিদম বিদ্যমান না থাকলে একটি সমস্যা অনির্ধারিত।

1936 সালে অ্যালান টুরিং দ্বারা স্থগিত সমস্যাটি প্রথম প্রবর্তন করা হয়েছিল এবং এটি সিদ্ধান্তের অযোগ্য বলে প্রমাণিত হয়েছিল। টুরিং এর প্রমাণ একটি তির্যক যুক্তির একটি সর্বোত্তম উদাহরণ এবং এতে স্ব-রেফারেন্স এবং দ্বন্দ্বের একটি চতুর ব্যবহার জড়িত। প্রমাণটি নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে:

1. ডিসিডিবিলিটির অনুমান: অনুমান করুন, দ্বন্দ্বের খাতিরে, একটি টিউরিং মেশিন (H ) আছে যা থামার সমস্যা নির্ধারণ করতে পারে। অর্থাৎ, ( H ) একটি জোড়া ইনপুট হিসাবে নেয় ( (M, w) ), যেখানে ( M ) একটি টিউরিং মেশিনের একটি বিবরণ এবং ( w ) একটি ইনপুট স্ট্রিং, এবং ( H(M, w) ) ফেরত দেয় " হ্যাঁ" যদি ( M ) ( w ) এ থামে এবং " না" যদি ( M ) ( w ) এ থামে না।

2. একটি প্যারাডক্সিক্যাল মেশিন নির্মাণ: ( H ) ব্যবহার করে, একটি নতুন টিউরিং মেশিন ( D ) তৈরি করুন যা একটি একক ইনপুট ( M ) ( একটি টিউরিং মেশিনের বিবরণ) নেয় এবং নিম্নরূপ আচরণ করে:
– ( D(M) ) রান ( H(M, M))।
– যদি ( H(M, M) ) "no" ফেরত দেয়, তাহলে ( D(M) ) থামে।
– যদি ( H(M, M) ) "yes" ফেরত দেয়, তাহলে ( D(M) ) একটি অসীম লুপে প্রবেশ করে।

3. স্ব-রেফারেন্স এবং দ্বন্দ্ব: ( D ) এর আচরণ বিবেচনা করুন যখন এটির নিজস্ব বিবরণ ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয়। ধরা যাক ( d ) ( D ) এর বর্ণনা। তারপর আমাদের দুটি কেস আছে:
– যদি ( D(d) ) থেমে যায়, তাহলে ( D ) এর সংজ্ঞা অনুসারে ( H(d, d) ) অবশ্যই "না" ফেরত দিতে হবে, যার অর্থ ( D(d) ) থামানো উচিত নয়—একটি দ্বন্দ্ব।
– যদি ( D(d) ) থেমে না যায়, তাহলে ( D ) এর সংজ্ঞা অনুসারে ( H(d, d) ) অবশ্যই "yes" ফিরতে হবে, যার মানে ( D(d) ) থামতে হবে—আবার, একটি দ্বন্দ্ব .

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই একটি দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করে, প্রাথমিক অনুমান যে ( H ) বিদ্যমান তা অবশ্যই মিথ্যা হতে হবে। অতএব, থামানোর সমস্যা অনিশ্চিত।

এই প্রমাণটি দেখায় যে এমন কোনও সাধারণ অ্যালগরিদম নেই যা সমস্ত সম্ভাব্য টুরিং মেশিন এবং ইনপুটগুলির জন্য থামানোর সমস্যা সমাধান করতে পারে। স্থগিত সমস্যার অনিশ্চয়তা গণনার সীমার জন্য গভীর প্রভাব ফেলে এবং অ্যালগরিদমিকভাবে কী নির্ধারণ করা যায়। এটি দেখায় যে যা গণনা করা যেতে পারে তার অন্তর্নিহিত সীমাবদ্ধতা রয়েছে এবং কিছু সমস্যা যে কোনও অ্যালগরিদমের নাগালের বাইরে।

স্থগিত সমস্যার প্রভাব আরও ব্যাখ্যা করতে, নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন:

- প্রোগ্রাম যাচাইকরণ: কেউ যাচাই করতে ইচ্ছুক হতে পারে যে একটি প্রদত্ত প্রোগ্রাম সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুটের জন্য বন্ধ হয়ে গেছে। থামানোর সমস্যার অনিশ্চয়তার কারণে, একটি সাধারণ-উদ্দেশ্য প্রোগ্রাম যাচাইকারী তৈরি করা অসম্ভব যা প্রতিটি সম্ভাব্য প্রোগ্রাম এবং ইনপুটের জন্য, প্রোগ্রামটি থামবে কিনা তা নির্ধারণ করতে পারে।

- নিরাপত্তা বিশ্লেষণ: সাইবার নিরাপত্তায়, কেউ হয়তো বিশ্লেষণ করতে চাইতে পারে যে ম্যালওয়্যারের একটি অংশ শেষ পর্যন্ত কার্যকর করা বন্ধ করবে কিনা। থামানোর সমস্যার অনিশ্চয়তা বোঝায় যে কোনও সাধারণ অ্যালগরিদম নেই যা নির্ধারণ করতে পারে যে কোনও ম্যালওয়্যার থামবে কিনা।

- গাণিতিক প্রমাণ: থামানোর সমস্যাটি গোডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যগুলির সাথে সম্পর্কিত, যা বলে যে কোনও পর্যাপ্ত শক্তিশালী আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থায়, এমন সত্য বিবৃতি রয়েছে যা সিস্টেমের মধ্যে প্রমাণ করা যায় না। স্থগিত সমস্যার অনিশ্চয়তা দেখায় যে অ্যালগরিদমগুলির আচরণ সম্পর্কে এমন প্রশ্ন রয়েছে যা অ্যালগরিদমিক গণনার কাঠামোর মধ্যে উত্তর দেওয়া যায় না।

স্থগিত সমস্যার অনিশ্চয়তাও ধারণার দিকে নিয়ে যায় হ্রাসযোগ্যতা কম্পিউটেশনাল জটিলতা তত্ত্বে। একটি সমস্যা (A) একটি সমস্যা (B) থেকে হ্রাসযোগ্য বলে বলা হয় যদি (A) সমাধানের জন্য (B) এর সমাধান ব্যবহার করা যায়। যদি থামার সমস্যাটি সিদ্ধান্তযোগ্য হত, তবে থামার সমস্যা হ্রাস করে আরও অনেক অনির্ধারিত সমস্যাও সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, যেহেতু থামানোর সমস্যাটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না, তাই যে কোনও সমস্যা যা থামানোর সমস্যাকে হ্রাস করা যেতে পারে তাও অনিশ্চিত।

একটি টিউরিং মেশিনের থামার সমস্যা অনিশ্চিত। এই ফলাফল তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি ভিত্তিপ্রস্তর এবং আমাদের গণনা, অ্যালগরিদমিক সীমা এবং গাণিতিক সত্যের প্রকৃতি বোঝার জন্য সুদূরপ্রসারী প্রভাব রয়েছে।

সম্পর্কিত অন্যান্য সাম্প্রতিক প্রশ্ন এবং উত্তর সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা:

ডিসিডিবিলিটিতে আরও প্রশ্ন ও উত্তর দেখুন

আরও প্রশ্ন এবং উত্তর:

এর অধীনে ট্যাগ করা: , , , , ,